Cálculo Exemplos

$- 3 y - x = 4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- 3 y - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 y' + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 y' - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 y' - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 y' - 1$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- 1 - 3 y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 (3 x^{2})$

Etapa 3.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 9 x^{2}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 1 - 3 y' = 9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' = - 1 - 3 y'$

Etapa 5.2

Some $3 y'$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1$

Etapa 5.3

Subtraia $9 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $12 y^{2} y'$ .

$y' (12 y^{2}) + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $4 y y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $3 y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (12 y^{2}) + y' (4 y)$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ por $12 y^{2} + 4 y + 3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ por $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 1 - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 5.5.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 5.5.3.3

Fatore $- 1$ de $- 9 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (9 x^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 5.5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$