Cálculo Exemplos

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} {(x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de ${(x + 5)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 5$ por $x$ .

$\frac{{(- 5 + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Some $- 5$ e $5$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $- 5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 5$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 5$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 \cdot - 5}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 \cdot - 5}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Etapa 1.1.3.5.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x} = lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(x + 5) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 5) + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Some $5 x$ e $5 x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 10 x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.7

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $10$ por $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.10

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.11

Some $2 x + 10$ e $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Etapa 1.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 1.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 1.3.14

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.3.14.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.14.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \cdot 1}$

Etapa 1.3.14.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $10$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 5$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 5$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $2 \cdot - 5 + 10$ e $2 \cdot - 5 + 5$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $5$ de $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Etapa 4.1.2

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 5 \cdot 2}{2 \cdot - 5 + 5}$

Etapa 4.1.3

Fatore $5$ de $5 (2 \cdot - 1) + 5 (2)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{2 \cdot - 5 + 5}$

Etapa 4.1.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $5$ de $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5}$

Etapa 4.1.4.2

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)}$

Etapa 4.1.4.3

Fatore $5$ de $5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Etapa 4.1.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Etapa 4.1.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot - 1 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 4.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 1}$

Etapa 4.3.2

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{0}{- 1}$

Etapa 4.4

Divida $0$ por $- 1$ .

$0$