Cálculo Exemplos

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + y^{2}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 9.3

Mova ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 9.4

Multiplique $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 11

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 12

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (2 y)$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} y$

Etapa 14.2

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ e $y$ .

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$