Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{25 - 4 x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{5^{2} - 4 x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{5^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = 2 x$ .

$\frac{1}{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{5 + 2 x}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{5 + 2 x} + \frac{B}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(5 + 2 x) (5 - 2 x)$ .

$\frac{1 (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $5 + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (5 - 2 x)}{5 - 2 x} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $5 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (5 - 2 x)}{5 - 2 x} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $5 + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (5 - 2 x)$ por $1$ .

$1 = (A) (5 - 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 5 + A (- 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 5 \cdot A + A (- 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 5 \cdot A - 2 A x + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.7.5

Cancele o fator comum de $5 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 5 A - 2 A x + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Etapa 1.1.7.5.2

Divida $(B) (5 + 2 x)$ por $1$ .

$1 = 5 A - 2 A x + (B) (5 + 2 x)$

Etapa 1.1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 5 A - 2 A x + B \cdot 5 + B (2 x)$

Etapa 1.1.7.7

Mova $5$ para a esquerda de $B$ .

$1 = 5 A - 2 A x + 5 \cdot B + B (2 x)$

Etapa 1.1.7.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 5 A - 2 A x + 5 B + 2 B x$

Etapa 1.1.8

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 5 B + 2 B x$

Etapa 1.1.8.2

Mova $B$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 5 B + 2 x B$

Etapa 1.1.8.3

Mova $5 B$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 2 x B + 5 B$

Etapa 1.1.8.4

Mova $5 A$ .

$1 = - 2 x A + 2 x B + 5 A + 5 B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 A + 2 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 2 A + 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

$0 = - 2 A + 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $0 = - 2 A + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 2 A + 2 B = 0$ .

$- 2 A + 2 B = 0$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$- 2 A = - 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3.1.3

Divida cada termo em $- 2 A = - 2 B$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Divida cada termo em $- 2 A = - 2 B$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3.1.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3.1.3.3.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 5 A + 5 B$ por $B$ .

$1 = 5 (B) + 5 B$

$A = B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Some $5 B$ e $5 B$ .

$1 = 10 B$

$A = B$

$1 = 10 B$

$A = B$

$1 = 10 B$

$A = B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $1 = 10 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $10 B = 1$ .

$10 B = 1$

$A = B$

Etapa 1.3.3.2

Divida cada termo em $10 B = 1$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Divida cada termo em $10 B = 1$ por $10$ .

$\frac{10 B}{10} = \frac{1}{10}$

$A = B$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 B}{10} = \frac{1}{10}$

$A = B$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{10}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = B$ por $\frac{1}{10}$ .

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{1}{10}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{5 + 2 x} + \frac{B}{5 - 2 x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{10}}{5 + 2 x} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5 + 2 x} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{5 + 2 x}$ .

$\frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5 - 2 x}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{5 - 2 x}$ .

$\int \frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{10 (5 + 2 x)} d x + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{5 + 2 x} d x + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 5 + 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 5 + 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $5 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 2 x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{10} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{1}{20} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{5 - 2 x} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 5 - 2 x$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 5 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

Etapa 10.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 10.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 10.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 10.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 10.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 11.3

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.2

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{20} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{20} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 16

Simplifique.

$\frac{1}{20} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{20} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 + 2 x$ .

$\frac{1}{20} \ln (| 5 + 2 x |) - \frac{1}{20} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 - 2 x$ .

$\frac{1}{20} \ln (| 5 + 2 x |) - \frac{1}{20} \ln (| 5 - 2 x |) + C$