Cálculo Exemplos

$- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3} = y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$- 9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - (3 x^{2})$

Etapa 2.5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - 3 x^{2}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $- 9 y^{2} y'$ e $0$ .

$- 9 y^{2} y' - 2 y y' - 3 x^{2}$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y'$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y' = y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y' - y' = 0$

Etapa 5.2

Some $3 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$- 9 y^{2} y' - 2 y y' - y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- 9 y^{2} y' - 2 y y' - y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) - 2 y y' - y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y) - y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot - 1 = 3 x^{2}$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- 9 y^{2} - 2 y) + y' \cdot - 1 = 3 x^{2}$

Etapa 5.3.5

Fatore $y'$ de $y' (- 9 y^{2} - 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$ por $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$ por $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1)}{- 9 y^{2} - 2 y - 1} = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1)}{- 9 y^{2} - 2 y - 1} = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Fatore $- 1$ de $- 9 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2}) - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2}) - (2 y) - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- (9 y^{2}) - (2 y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y) - 1}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y) - 1 (1)}$

Etapa 5.4.3.5

Fatore $- 1$ de $- (9 y^{2} + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y + 1)}$

Etapa 5.4.3.6

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.4.3.6.1

Reescreva $- (9 y^{2} + 2 y + 1)$ como $- 1 (9 y^{2} + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 1 (9 y^{2} + 2 y + 1)}$

Etapa 5.4.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{9 y^{2} + 2 y + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{9 y^{2} + 2 y + 1}$