Cálculo Exemplos

$y = x^{3} + x^{2} - 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Etapa 1.5

Some $3 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 4.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 2 x + 0$

Etapa 4.1.5

Some $3 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 2 x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $3 x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 2 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 2 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$x (3 x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (0) + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 + 2$

Etapa 9.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 5$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 5$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f (0) = - 5$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$y = - 5$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{2}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \frac{2}{3}) + 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$6 (\frac{- 2}{3}) + 2$

Etapa 13.1.1.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} + 2$

Etapa 13.1.1.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} + 2$

Etapa 13.1.1.4

Reescreva a expressão.

$2 \cdot - 2 + 2$

Etapa 13.1.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 + 2$

Etapa 13.2

Some $- 4$ e $2$ .

$- 2$

Etapa 14

$x = - \frac{2}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{2}{3}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

Etapa 15.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} - 5$

Etapa 15.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Etapa 15.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

Etapa 15.2.1.7

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5$

Etapa 15.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{3^{2}} - 5$

Etapa 15.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} - 5$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.2.1

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3} - 5$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 5$

Etapa 15.2.2.3

Escreva $- 5$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1}$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.2.6

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.2.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 5$ por $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 135}{27}$

Etapa 15.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.5.1

Some $- 8$ e $12$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 135}{27}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $135$ de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 131}{27}$

Etapa 15.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{131}{27}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $- \frac{131}{27}$ .

$y = - \frac{131}{27}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5$ .

$(0, - 5)$ é um mínimo local

$(- \frac{2}{3}, - \frac{131}{27})$ é um máximo local

Etapa 17