Cálculo Exemplos

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 3 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $θ$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Etapa 2

Deixe $u = θ^{2}$ . Depois, $d u = 2 θ d θ$ , então, $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = θ^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d θ}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 θ$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $θ$ em $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Etapa 2.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 2.3.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ como $π \cdot 2$ .

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Etapa 2.3.6.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{π \cdot 2}$ como ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 2.3.6.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 2.3.6.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 2.3.6.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 2.3.6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Etapa 2.3.6.1.5

Simplifique.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Etapa 2.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Etapa 2.3.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Etapa 2.3.8

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 2.3.8.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Etapa 2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.8.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $θ$ em $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Etapa 2.5

Reescreva ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

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Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π^{1}$

Etapa 2.5.5

Simplifique.

$u_{upper} = π$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$3 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$3 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Etapa 3.2

Combine $\frac{u}{2}$ e $\cos (u)$ .

$3 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = \cos (u)$ .

$\frac{3}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Etapa 7

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{3}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $u \sin (u)$ em $π$ e em $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Etapa 8.2

Avalie $- \cos (u)$ em $π$ e em $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Combine $\sin (\frac{π}{2})$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Etapa 8.3.2

Para escrever $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 8.3.3

Combine $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Etapa 8.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Etapa 8.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Etapa 9.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Etapa 9.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Etapa 9.4

Some $- \cos (π)$ e $0$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Etapa 9.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Etapa 9.6

Para escrever $π \sin (π)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Etapa 9.7

Combine $π \sin (π)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Etapa 9.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Etapa 9.9

Mova $2$ para a esquerda de $π \sin (π)$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Etapa 9.10

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{3 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{3 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Etapa 10.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Etapa 10.3

Multiplique $2 π \cdot 0$ .

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Etapa 10.3.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{3 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{3 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Etapa 10.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{3 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

Etapa 10.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{3 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

Etapa 10.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

Etapa 10.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (0 - π - 2)}{4}$

Etapa 10.8

Subtraia $π$ de $0$ .

$\frac{3 (- π - 2)}{4}$

Etapa 10.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- π) + 3 \cdot - 2}{4}$

Etapa 10.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 π + 3 \cdot - 2}{4}$

Etapa 10.11

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 π - 6}{4}$

Etapa 10.12

Fatore $- 1$ de $- 3 π$ .

$\frac{- (3 π) - 6}{4}$

Etapa 10.13

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{- (3 π) - 1 (6)}{4}$

Etapa 10.14

Fatore $- 1$ de $- (3 π) - 1 (6)$ .

$\frac{- (3 π + 6)}{4}$

Etapa 10.15

Reescreva $- (3 π + 6)$ como $- 1 (3 π + 6)$ .

$\frac{- 1 (3 π + 6)}{4}$

Etapa 10.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 π + 6}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3 π + 6}{4}$

Forma decimal:

$- 3.85619449 \dots$