Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 1

Divida a fração em diversas frações.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ e $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.4

Para escrever $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 6.2.2.5

Combine $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 6.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 6.2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.1.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.1.2

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.1.4

Reescreva $e^{2} - 1$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.1.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Etapa 7.1.2

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Etapa 7.1.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Etapa 7.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Expanda $(e + 1) (e - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Etapa 7.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Etapa 7.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Etapa 7.4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Etapa 7.4.2.1.2

Reescreva $- 1 e$ como $- e$ .

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Etapa 7.4.2.1.3

Multiplique $e$ por $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Etapa 7.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Etapa 7.4.2.2

Some $- e$ e $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Etapa 7.4.2.3

Some $e e$ e $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Etapa 7.4.3

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

Etapa 7.4.4

Multiplique $e e$ .

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Etapa 7.4.4.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Etapa 7.4.4.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Etapa 7.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Etapa 7.4.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Forma decimal:

$4.19452804 \dots$

Etapa 9