Cálculo Exemplos

Avalie a Integral integral de 6/(2x+3x^2) com relação a x
Etapa 1
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 2
Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.1
Fatore de .
Etapa 2.1.1.2
Fatore de .
Etapa 2.1.1.3
Fatore de .
Etapa 2.1.1.4
Multiplique por .
Etapa 2.1.2
Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar .
Etapa 2.1.3
Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é .
Etapa 2.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 2.1.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.5.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.1.5.2
Reescreva a expressão.
Etapa 2.1.6
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.6.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.6.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.1.6.1.2
Divida por .
Etapa 2.1.6.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.6.3
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.1.6.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 2.1.6.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.6.5.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.1.6.5.2
Divida por .
Etapa 2.1.7
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.7.1
Mova .
Etapa 2.1.7.2
Reordene e .
Etapa 2.1.7.3
Mova .
Etapa 2.2
Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.
Etapa 2.2.2
Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.
Etapa 2.2.3
Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.
Etapa 2.3
Resolva o sistema de equações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Resolva em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1.1
Reescreva a equação como .
Etapa 2.3.1.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 2.3.1.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1.2.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.3.1.2.2.1.2
Divida por .
Etapa 2.3.2
Substitua todas as ocorrências de por em cada equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.2.1
Substitua todas as ocorrências de em por .
Etapa 2.3.2.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.2.2.1
Combine e .
Etapa 2.3.3
Resolva em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.1
Reescreva a equação como .
Etapa 2.3.3.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 2.3.4
Resolva o sistema de equações.
Etapa 2.3.5
Liste todas as soluções.
Etapa 2.4
Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em pelos valores encontrados para e .
Etapa 2.5
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.1
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 2.5.2
Multiplique por .
Etapa 2.5.3
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 2.5.4
Multiplique por .
Etapa 2.5.5
Mova para a esquerda de .
Etapa 3
Divida a integral única em várias integrais.
Etapa 4
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 5
A integral de com relação a é .
Etapa 6
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 7
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 8
Deixe . Depois, , então, . Reescreva usando e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1
Deixe . Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1.1
Diferencie .
Etapa 8.1.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 8.1.2.2
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 8.1.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 8.1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 8.1.3.3
Multiplique por .
Etapa 8.1.4
Some e .
Etapa 8.2
Reescreva o problema usando e .
Etapa 9
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Multiplique por .
Etapa 9.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 10
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 11
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Multiplique por .
Etapa 11.2
Multiplique por .
Etapa 11.3
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.3.1
Fatore de .
Etapa 11.3.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.3.2.1
Fatore de .
Etapa 11.3.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 11.3.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 12
A integral de com relação a é .
Etapa 13
Simplifique.
Etapa 14
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 15
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1.1
Combine e .
Etapa 15.1.2
Combine e .
Etapa 15.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 15.3
Use a propriedade dos logaritmos do quociente, .
Etapa 15.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.4.1
Fatore de .
Etapa 15.4.2
Cancele o fator comum.
Etapa 15.4.3
Reescreva a expressão.