Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Etapa 1

Mova o termo $\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se aproxima de $0$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{t}}$ por $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{t}}$ por $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.2

Eleve $\sqrt{t}$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.3

Eleve $\sqrt{t}$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.6

Reescreva ${\sqrt{t}}^{2}$ como $t$ .

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Etapa 3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0$

Etapa 3.2.6.5

Simplifique.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0$

Etapa 3.3

Multiplique $\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ por $0$ .

$0$