Cálculo Exemplos

$y = - 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3} - 4)]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3} - 4)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{3} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$- 7 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} - 4]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 7 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} - 4]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3} - 4]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x}{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.4

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) (\frac{2}{3} + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.8

Some $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$- 7 (- \sin (\frac{2 x}{3} - 4) \frac{2}{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.9

Combine $\frac{2}{3}$ e $\sin (\frac{2 x}{3} - 4)$ .

$- 7 (- \frac{2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.10

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$7 \frac{2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.11

Combine $7$ e $\frac{2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ .

$\frac{7 (2 \sin (\frac{2 x}{3} - 4))}{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.12

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ e $0$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $\frac{14}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{14}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3} - 4)]$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3} - 4))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{3} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x}{3} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{14}{3} \cdot (\cos (\frac{2 x}{3} - 4) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Combine $\cos (\frac{2 x}{3} - 4)$ e $\frac{14}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{2 x}{3} - 4) \cdot 14}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4)$

Etapa 2.3.2

Mova $14$ para a esquerda de $\cos (\frac{2 x}{3} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cdot \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3} - 4)$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x}{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 2.3.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot (\frac{2}{3} + 0)$

Etapa 2.3.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Some $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 2.3.8.2

Multiplique $\frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{14 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.8.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.3.1

Multiplique $2$ por $14$ .

$f'' (x) = \frac{28 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.8.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{28 \cos (\frac{2 x}{3} - 4)}{9}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{3} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$ por $14$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$ por $14$ .

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{14} = \frac{0}{14}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 \sin (\frac{2 x}{3} - 4)}{14} = \frac{0}{14}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $\sin (\frac{2 x}{3} - 4)$ por $1$ .

$\sin (\frac{2 x}{3} - 4) = \frac{0}{14}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $14$ .

$\sin (\frac{2 x}{3} - 4) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{2 x}{3} - 4 = \arcsin (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{2 x}{3} - 4 = 0$

Etapa 5.4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\frac{2 x}{3} = 4$

Etapa 5.5

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.6

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.6.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.6.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.6.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.6.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot (2 (2))$

Etapa 5.6.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 5.6.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 3 \cdot 2$

Etapa 5.6.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = 6$

Etapa 5.7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{2 x}{3} - 4 = π - 0$

Etapa 5.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$\frac{2 x}{3} - 4 = π$

Etapa 5.8.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\frac{2 x}{3} = π + 4$

Etapa 5.8.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π + 4)$

Etapa 5.8.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π + 4)$

Etapa 5.8.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π + 4)$

Etapa 5.8.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (π + 4)$

Etapa 5.8.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π + 4)$

Etapa 5.8.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2} (π + 4)$

Etapa 5.8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1

Simplifique $\frac{3}{2} (π + 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{3}{2} π + \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.8.4.2.1.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 5.8.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (2))$

Etapa 5.8.4.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 5.8.4.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3 π}{2} + 3 \cdot 2$

Etapa 5.8.4.2.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 6$

Etapa 5.9

A solução para a equação $\frac{2 x}{3} - 4 = 0$ .

$x = 6, \frac{3 π}{2} + 6$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{28 \cos (\frac{2 (6)}{3} - 4)}{9}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $3$ de $2 (6)$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 \cdot (2))}{3} - 4)}{9}$

Etapa 7.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 \cdot (2))}{3 (1)} - 4)}{9}$

Etapa 7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 \cdot (2))}{3 \cdot 1} - 4)}{9}$

Etapa 7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{28 \cos (\frac{2 \cdot (2)}{1} - 4)}{9}$

Etapa 7.1.2.4

Divida $2 \cdot (2)$ por $1$ .

$\frac{28 \cos (2 \cdot (2) - 4)}{9}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{28 \cos (4 - 4)}{9}$

Etapa 7.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{28 \cos (0)}{9}$

Etapa 7.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{28 \cdot 1}{9}$

Etapa 7.3

Multiplique $28$ por $1$ .

$\frac{28}{9}$

Etapa 8

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - 7 \cos (\frac{2 (6)}{3} - 4) + 3$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$f (6) = - 7 \cos (\frac{12}{3} - 4) + 3$

Etapa 9.2.1.2

Divida $12$ por $3$ .

$f (6) = - 7 \cos (4 - 4) + 3$

Etapa 9.2.1.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (6) = - 7 \cos (0) + 3$

Etapa 9.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (6) = - 7 \cdot 1 + 3$

Etapa 9.2.1.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$f (6) = - 7 + 3$

Etapa 9.2.2

Some $- 7$ e $3$ .

$f (6) = - 4$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2} + 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{28 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2} + 6)}{3} - 4)}{9}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Cancele o fator comum de $\frac{3 π}{2} + 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Fatore $3$ de $2 (\frac{3 π}{2} + 6)$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3} - 4)}{9}$

Etapa 11.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 (1)} - 4)}{9}$

Etapa 11.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{28 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 \cdot 1} - 4)}{9}$

Etapa 11.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{28 \cos (\frac{2 (\frac{π}{2} + 2)}{1} - 4)}{9}$

Etapa 11.1.2.4

Divida $2 (\frac{π}{2} + 2)$ por $1$ .

$\frac{28 \cos (2 (\frac{π}{2} + 2) - 4)}{9}$

Etapa 11.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{28 \cos (2 \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 - 4)}{9}$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{28 \cos (2 \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 - 4)}{9}$

Etapa 11.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{28 \cos (π + 2 \cdot 2 - 4)}{9}$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{28 \cos (π + 4 - 4)}{9}$

Etapa 11.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{28 \cos (π + 0)}{9}$

Etapa 11.2.3

Some $π$ e $0$ .

$\frac{28 \cos (π)}{9}$

Etapa 11.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{28 (- \cos (0))}{9}$

Etapa 11.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{28 (- 1 \cdot 1)}{9}$

Etapa 11.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{28 \cdot - 1}{9}$

Etapa 11.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Multiplique $28$ por $- 1$ .

$\frac{- 28}{9}$

Etapa 11.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{28}{9}$

Etapa 12

$x = \frac{3 π}{2} + 6$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2} + 6$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2} + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2} + 6$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2} + 6)}{3} - 4) + 3$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $\frac{3 π}{2} + 6$ e $3$ .

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Etapa 13.2.1.1.1.1

Fatore $3$ de $2 (\frac{3 π}{2} + 6)$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3} - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.1.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 (1)} - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{3 (2 (\frac{π}{2} + 2))}{3 \cdot 1} - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (\frac{2 (\frac{π}{2} + 2)}{1} - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.1.2.4

Divida $2 (\frac{π}{2} + 2)$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (2 (\frac{π}{2} + 2) - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (2 (\frac{π}{2}) + 2 \cdot 2 - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (2 (\frac{π}{2}) + 2 \cdot 2 - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π + 2 \cdot 2 - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π + 4 - 4) + 3$

Etapa 13.2.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π + 0) + 3$

Etapa 13.2.1.3

Some $π$ e $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cos (π) + 3$

Etapa 13.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 (- \cos (0)) + 3$

Etapa 13.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 (- 1 \cdot 1) + 3$

Etapa 13.2.1.6

Multiplique $- 7 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 13.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = - 7 \cdot - 1 + 3$

Etapa 13.2.1.6.2

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = 7 + 3$

Etapa 13.2.2

Some $7$ e $3$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 6) = 10$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $10$ .

$y = 10$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 7 \cos (\frac{2 x}{3} - 4) + 3$ .

$(6, - 4)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{2} + 6, 10)$ é um máximo local

Etapa 15