Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{4 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{4 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 1.3.1.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (3 x - 2)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{3 x - 2}$ e $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.10

Some $3$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{4}{3 x - 2}$ e $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.12

Multiplique $4$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Etapa 3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Etapa 3.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Etapa 3.15

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 3.15.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 (2 x)}$

Etapa 3.15.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 4 x}$

Etapa 3.16

Subtraia $4 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{- 4 x}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{12}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 4 x}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{12}{3 x - 2}$ por $\frac{1}{- 4 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{12}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $12$ e $- 4$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $(3 x - 2) (- 4 x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) (- x)}$

Etapa 6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) (- x)}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$3 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Etapa 9

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$3 \frac{1}{- (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 12

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 13

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 15.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 15.1.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 15.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$3 \frac{- 1 (- 1)}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 15.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{1}{3 - 1 \cdot 2})$

Etapa 15.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (- \frac{1}{3 - 2})$

Etapa 15.3.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$3 (- \frac{1}{1})$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 15.4.1

Cancele o fator comum.

$3 (- \frac{1}{1})$

Etapa 15.4.2

Reescreva a expressão.

$3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.5

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 15.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \cdot - 1$

Etapa 15.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3$