Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 - 4 x^{2}$ . Depois, $d u = - 8 x d x$ , então, $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 - 4 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Etapa 2.1.4

Subtraia $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Etapa 2.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Etapa 2.5.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Etapa 2.5.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Etapa 2.5.1.4.2

Fatore $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.4.3

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.4.4

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Etapa 2.5.1.5

Reescreva $- 1 (\frac{1}{4})$ como $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Etapa 2.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Etapa 2.5.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Etapa 3.3

Mova $8$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $8$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $8$ de $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 7.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.2.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 7.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 7.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 7.1.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 7.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 7.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 7.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 7.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $\frac{3}{4}$ e em $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Etapa 10.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Etapa 10.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Etapa 10.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Etapa 10.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

Etapa 10.1.2.4

Avalie o expoente.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Etapa 10.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Etapa 10.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$

Etapa 12