Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.9

Simplifique.

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Etapa 1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.7.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.3

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.4

Combine os termos.

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Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 2.7.4.1.1

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Etapa 2.7.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.4.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 2.7.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6