Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$x^{\frac{1}{2}} - - x^{- 1} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $x^{- 1}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} + C$