Cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ como ${(1 + \sin (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sin (x))}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \sin (x)$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \cos (x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cos (x)$

Etapa 5.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$