Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 1.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 2.1.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 2.1.3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.4.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 2 + 1$

Etapa 2.3.2

Some $2$ e $1$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1.3.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.1.3.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

Etapa 2.5.1.4

Avalie o expoente.

$u_{upper} = 2 + 2$

Etapa 2.5.2

Some $2$ e $2$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

Etapa 5

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $4$ e em $3$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2$ por $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 6.2.6

Mova $3^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Etapa 6.2.7

Multiplique $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.7.1

Mova $3^{- 1}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Etapa 6.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Etapa 6.2.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Etapa 6.2.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Etapa 6.2.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Etapa 6.2.7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Etapa 6.2.7.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 6.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2

Multiplique $2 (\frac{16}{3})$ .

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Etapa 7.2.1

Combine $2$ e $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$3.73846343 \dots$

Etapa 9