Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} (k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $k$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $k e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$k (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$k (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 2.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{k^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = k^{2}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$ .

$- 2 k e^{- 2 x} - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$