Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}}{2}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $1 + t^{2}$ e em $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 2^{- 1}}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 8.2.2

Para escrever $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 8.2.3

Combine $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2 + 1}{2}}{2}$

Etapa 8.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$

Etapa 8.2.6

Reescreva $\frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$ como um produto.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.7

Multiplique $\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{4}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Fatore $- 1$ de $- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{4}$

Etapa 9.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{4}$

Etapa 9.3

Fatore $- 1$ de $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Etapa 9.4

Reescreva $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ como $- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

Etapa 9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Etapa 10

Avalie o limite.

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Etapa 10.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

Etapa 10.2

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

Etapa 10.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 10.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 10.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 10.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{1 + t^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 10.7

Avalie o limite.

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Etapa 10.7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 10.7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.7.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 10.7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Etapa 10.7.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Etapa 10.7.2.3

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Etapa 10.7.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Etapa 10.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$