Cálculo Exemplos

$\int_{- \infty}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{- 4} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{t}^{5}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ em $5$ e em $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{3} \cdot 5^{- 3}) + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Etapa 4.2.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{125} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $\frac{1}{125}$ por $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{125 \cdot 3} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $125$ por $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Etapa 4.2.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{t^{- 3}}{3}$

Etapa 4.2.6

Mova $t^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3 t^{3}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite de $\frac{1}{375}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$- \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Etapa 5.1.3

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} lim_{t \to - \infty} \frac{1}{t^{3}}$

Etapa 5.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{t^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} \cdot 0$

Etapa 5.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{375} + 0$

Etapa 5.3.2

Some $- \frac{1}{375}$ e $0$ .

$- \frac{1}{375}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{375}$

Forma decimal:

$- 0.002\overline{6}$