Cálculo Exemplos

$y = \arccos (\sqrt{1 - x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arccos ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\arccos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Simplifique.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 10.3

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 10.4

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 13

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Multiplique.

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Etapa 15.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 15.2

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot 1$

Etapa 17

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x}}$

Etapa 18.2

Combine os termos.

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Etapa 18.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x}}$

Etapa 18.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x}}$

Etapa 18.2.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x}}$

Etapa 18.2.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x}}$

Etapa 18.2.5

Some $0$ e $x$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$

Etapa 18.3

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 18.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 18.4.1

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 18.4.2

Mova $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Etapa 18.4.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Etapa 18.4.4

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Etapa 18.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 18.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 18.4.7

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 18.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 18.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 18.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 18.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 18.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Etapa 18.4.7.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 18.5

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$