Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{6} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5

Combine $\frac{- 4}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 (2 x)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.6

Combine $\frac{- 6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.1

Fatore $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.2.7.2.4

Divida $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $36$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 6 x + 36$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 2$ de $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) + 36 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 2$ de $36$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (- 18)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 18$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 6, 3$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 3$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $6$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - \frac{1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{6}$ para o numerador.

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.1.2

Fatore $6$ de ${(6)}^{4}$ .

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (6) = - 1 \cdot 6^{3} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = - 1 \cdot 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $216$ .

$f (6) = - 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 18 {(6)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 18 \cdot 36$

Etapa 3.1.2.1.6

Multiplique $18$ por $36$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 648$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some $- 216$ e $216$ .

$f (6) = 0 + 648$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $648$ .

$f (6) = 648$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $648$ .

$648$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $6$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ é $(6, 648)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(6, 648)$

Etapa 3.3

Substitua $- 3$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{4} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{6}$ para o numerador.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Fatore $3$ de $6$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 (2)} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Fatore $3$ de $81$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (- 3) = \frac{- 1}{2} \cdot 27 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Combine $\frac{- 1}{2}$ e $27$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$f (- 3) = \frac{- 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.6

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 {(- 3)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.7

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 \cdot 9$

Etapa 3.3.2.1.8

Multiplique $18$ por $9$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 162$

Etapa 3.3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Escreva $- 27$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 162$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 162$

Etapa 3.3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 162$

Etapa 3.3.2.2.4

Escreva $162$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1}$

Etapa 3.3.2.2.5

Multiplique $\frac{162}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.3.2.2.6

Multiplique $\frac{162}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 162 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 162 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.3.2.4.2

Multiplique $162$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 324}{2}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Subtraia $54$ de $- 27$ .

$f (- 3) = \frac{- 81 + 324}{2}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $- 81$ e $324$ .

$f (- 3) = \frac{243}{2}$

Etapa 3.3.2.6

A resposta final é $\frac{243}{2}$ .

$\frac{243}{2}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 3$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ é $(- 3, \frac{243}{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 3, \frac{243}{2})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(6, 648), (- 3, \frac{243}{2})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.1$ na expressão.

$f'' (- 3.1) = - 2 {(- 3.1)}^{2} + 6 (- 3.1) + 36$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 2 \cdot 9.61 + 6 (- 3.1) + 36$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 19.22 + 6 (- 3.1) + 36$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 19.22 - 18.6 + 36$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $18.6$ de $- 19.22$ .

$f'' (- 3.1) = - 37.82 + 36$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 37.82$ e $36$ .

$f'' (- 3.1) = - 1.82$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 1.82$ .

$- 1.82$

Etapa 5.3

Em $- 3.1$ , a segunda derivada é $- 1.82$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 6)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{9}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (- 1) (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = - 1 (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva $- 1 (\frac{9}{2})$ como $- (\frac{9}{2})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{3}{2}) + 36$

Etapa 6.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{3}{2})) + 36$

Etapa 6.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 3 \cdot 3 + 36$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 9 + 36$

Etapa 6.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 6.2.2.1

Escreva $9$ como uma fração com denominador $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} + 36$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\frac{9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + 36$

Etapa 6.2.2.4

Escreva $36$ como uma fração com denominador $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $\frac{36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $\frac{36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 9 \cdot 2 + 36 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $9$ por $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 36 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $36$ por $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 72}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique somando os números.

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Etapa 6.2.5.1

Some $- 9$ e $18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{9 + 72}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Some $9$ e $72$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $\frac{81}{2}$ .

$\frac{81}{2}$

Etapa 6.3

Em $\frac{3}{2}$ , a segunda derivada é $40.5$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 3, 6)$ .

Acréscimo em $(- 3, 6)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6.1$ na expressão.

$f'' (6.1) = - 2 {(6.1)}^{2} + 6 (6.1) + 36$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $6.1$ à potência de $2$ .

$f'' (6.1) = - 2 \cdot 37.21 + 6 (6.1) + 36$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $37.21$ .

$f'' (6.1) = - 74.42 + 6 (6.1) + 36$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $6$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = - 74.42 + 36.6 + 36$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.2.2.1

Some $- 74.42$ e $36.6$ .

$f'' (6.1) = - 37.82 + 36$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 37.82$ e $36$ .

$f'' (6.1) = - 1.82$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 1.82$ .

$- 1.82$

Etapa 7.3

Em $6.1$ , a segunda derivada é $- 1.82$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(6, \infty)$ .

Decréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$ .

$(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$

Etapa 9