Cálculo Exemplos

$y' = y x^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d y}{d x} = y x^{3}$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x^{3})$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $y$ de $y x^{3}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3}))$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x^{3})$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Etapa 2.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = x^{3} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{3} d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Etapa 4.2

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y |$

Etapa 4.3

Resolva $y$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Etapa 4.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.1

Reescreva $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ como $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$

Etapa 5.2

Reordene $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}}$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}}$