Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[0, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{4}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 1]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Etapa 7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Etapa 8

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 8.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Etapa 8.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Etapa 8.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Etapa 10

Avalie $\ln (| u |)$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Etapa 11

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Etapa 12.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Etapa 13

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Etapa 13.2

Some $1$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Etapa 14

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 14.1.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Etapa 14.1.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Etapa 14.2

Multiplique $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ por $1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 15

Simplifique $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Etapa 16

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Etapa 17

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Etapa 18

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Etapa 19