Cálculo Exemplos

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Etapa 9.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Etapa 9.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$