Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Combine $12$ e $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Etapa 1.2

Combine $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ e $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Etapa 2

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Etapa 3

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x^{6}$ . Depois, $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x^{6}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Etapa 5.3

Mova $6$ para a esquerda de $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Etapa 8.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 2 u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 8.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $5$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 8.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 8.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 8.1.4

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.3

Multiplique $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$