Cálculo Exemplos

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Etapa 1

Escreva $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ como uma função.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (t)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Etapa 4

Como $d$ é constante com relação a $t$ , mova $d$ para fora da integral.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.5

Some $- 3$ e $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.6

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.8

Some $- 9$ e $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Etapa 5.9

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Etapa 5.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Etapa 5.11

Some $3$ e $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Etapa 5.12

Mova $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Etapa 5.13

Reordene $10 t^{- 2}$ e $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{4}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Etapa 9

Como $10$ é constante com relação a $t$ , mova $10$ para fora da integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- 2}$ com relação a $t$ é $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Etapa 11

Como $12$ é constante com relação a $t$ , mova $12$ para fora da integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- 8}$ com relação a $t$ é $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

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Etapa 13.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Etapa 13.1.2

Combine $t^{- 7}$ e $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Etapa 13.1.3

Mova $t^{- 7}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Etapa 13.2

Simplifique.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Etapa 13.3

Reordene os termos.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$