Cálculo Exemplos

$4 x (1 + \ln (x))$

Etapa 1

Escreva $4 x (1 + \ln (x))$ como uma função.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

Etapa 4.3

Simplifique $4 \ln (x)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

Etapa 5

Reescreva $4 x + x \ln (x^{4})$ como $4 x + x (4 \ln (x))$ .

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

Etapa 9

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

Etapa 10

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 11.3

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 11.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 11.5

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Etapa 11.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 11.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Etapa 11.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.6.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 11.6.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 11.6.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Etapa 14.2

Simplifique.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

Etapa 14.3

Simplifique.

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Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

Etapa 14.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Etapa 14.4

Simplifique.

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Etapa 14.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Etapa 14.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Etapa 14.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Etapa 14.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Etapa 14.4.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 14.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{4}$ para o numerador.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Etapa 14.4.3.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Etapa 14.4.3.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

Etapa 14.4.4

Reordene os fatores em $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

Etapa 14.4.5

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$