Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x - 2}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x - 2)}^{2} (x - 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $2 x^{2} - 5 x - 2$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = (A) (x - 1) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.5

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.5.1

Fatore $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{B (x - 2) (x - 1)}{1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.5.2.4

Divida $B (x - 2) (x - 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B (x - 2) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + (B x + B \cdot - 2) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.7

Mova $- 2$ para a esquerda de $B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + (B x - 2 \cdot B) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.8

Expanda $(B x - 2 B) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x (x - 1) - 2 B (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 - 2 B (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.9.1.1.1

Mova $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.9.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.9.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $B x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.9.1.3

Reescreva $- 1 (B x)$ como $- (B x)$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - B x - 2 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.9.2

Subtraia $2 B x$ de $- B x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.10

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.10.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.10.2

Divida $(C) {(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + (C) {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1.1.7.11

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C ((x - 2) (x - 2))$

Etapa 1.1.7.12

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Etapa 1.1.7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Etapa 1.1.7.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 1.1.7.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.13.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 1.1.7.13.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 1.1.7.13.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Etapa 1.1.7.13.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 4 x + 4)$

Etapa 1.1.7.14

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} + C (- 4 x) + C \cdot 4$

Etapa 1.1.7.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.15.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + C \cdot 4$

Etapa 1.1.7.15.2

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 \cdot C$

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova $B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 x B + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Etapa 1.1.8.2

Mova $2 B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 4 C x + 2 B + 4 C$

Etapa 1.1.8.3

Mova $- A$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.1.8.4

Mova $- 3 x B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.1.8.5

Mova $A x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = B + C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$2 = B + C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $B$ em $2 = B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $B + C = 2$ .

$B + C = 2$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 2 - C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$B = 2 - C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 5 = A - 3 B - 4 C$ por $2 - C$ .

$- 5 = A - 3 (2 - C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $A - 3 (2 - C) - 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 = A - 3 \cdot 2 - 3 (- C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- 5 = A - 6 - 3 (- C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 5 = A - 6 + 3 C - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 + 3 C - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $4 C$ de $3 C$ .

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$ por $2 - C$ .

$- 2 = - 1 A + 2 (2 - C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Simplifique $- 1 A + 2 (2 - C) + 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1.1.1

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$- 2 = - A + 2 (2 - C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Etapa 1.3.2.4.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = - A + 2 \cdot 2 + 2 (- C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Etapa 1.3.2.4.1.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 = - A + 4 + 2 (- C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Etapa 1.3.2.4.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = - A + 4 - 2 C + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 - 2 C + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Etapa 1.3.2.4.1.2

Some $- 2 C$ e $4 C$ .

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Etapa 1.3.3

Reordene $2$ e $- C$ .

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

Etapa 1.3.4

Resolva $A$ em $- 5 = A - 6 - C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $A - 6 - C = - 5$ .

$A - 6 - C = - 5$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$A - C = - 5 + 6$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Etapa 1.3.4.2.2

Some $C$ aos dois lados da equação.

$A = - 5 + 6 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Etapa 1.3.4.2.3

Some $- 5$ e $6$ .

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Etapa 1.3.5

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 + C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 2 = - A + 4 + 2 C$ por $1 + C$ .

$- 2 = - (1 + C) + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Simplifique $- (1 + C) + 4 + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = - 1 \cdot 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.5.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 = - 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.5.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.2.1

Some $- 1$ e $4$ .

$- 2 = - C + 3 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.5.2.1.2.2

Some $- C$ e $2 C$ .

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.6

Resolva $C$ em $- 2 = C + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Reescreva a equação como $C + 3 = - 2$ .

$C + 3 = - 2$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$C = - 2 - 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.6.2.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.7

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 5$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $A = 1 + C$ por $- 5$ .

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.7.2

Simplifique $A = 1 - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.1

Remova os parênteses.

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.2.1

Subtraia $5$ de $1$ .

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

Etapa 1.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = - C + 2$ por $- 5$ .

$B = - (- 5) + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

Etapa 1.3.7.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.4.1

Simplifique $- (- 5) + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$B = 5 + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

Etapa 1.3.7.4.1.2

Some $5$ e $2$ .

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

Etapa 1.3.8

Liste todas as soluções.

$B = 7, A = - 4, C = - 5$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} + \frac{- 5}{x - 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} + \frac{- 5}{x - 1}$

Etapa 1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- (4 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 6.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- 4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 4 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 9

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 \int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 10.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - \int \frac{5}{x - 1} d x$

Etapa 13

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - (5 \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 14

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 15

Deixe $u_{3} = x - 1$ . Depois, $d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Deixe $u_{3} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 15.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 15.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 15.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 15.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 15.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 16

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 (\ln (| u_{3} |) + C)$

Etapa 17

Simplifique.

$\frac{4}{u_{1}} + 7 \ln (| u_{2} |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 2$ .

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| u_{2} |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| x - 2 |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 18.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x - 1$ .

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| x - 2 |) - 5 \ln (| x - 1 |) + C$