Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.2.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Etapa 1.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Etapa 1.1.3.1.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Some $0$ e $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x + 9} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 9}$ como ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 9$ .

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Etapa 1.3.6.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.13

Multiplique $\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6.14

Mova ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.8

Some $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 9}$ .

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 \sqrt{x + 9})$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} (2 x + 2) \sqrt{x + 9}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 x + 2 \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Etapa 2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 (0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Etapa 4.2

Some $0$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Etapa 4.4

Some $0$ e $9$ .

$4 \cdot \sqrt{9}$

Etapa 4.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 4.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \cdot 3$

Etapa 4.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$12$