Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{- x - 2}$ como ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = - x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.9

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.11.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.14

Some $- 1$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.15

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.16

Combine $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.17

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.18

Reescreva $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ como $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.19

Mova ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.21

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.22

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.23

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.24

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.24.1

Fatore $3$ de $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.24.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.24.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.2.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ como ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ e $g (x) = - x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.7.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.2

Combine ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.3.2

Mova ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.3.4

Multiplique $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.13

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + 0) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Some $- 1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot - 1 + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.14.2

Combine $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.14.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.16

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.1

Multiplique $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.16.2

Some $- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{- x - 2}$ como ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = - x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.9

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.11.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.14

Some $- 1$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.15

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.16

Combine $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.17

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.18

Reescreva $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ como $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.19

Mova ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.21

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.22

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.23

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.24

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.24.1

Fatore $3$ de $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.24.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.24.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.2.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 5.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}$ como ${(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- x - 2)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(- x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

${(- (x) - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.1.1.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

${(- (x) - 1 \cdot 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.1.1.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

${(- (x + 2))}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.1.2

Aplique a regra do produto a $- (x + 2)$ .

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.3.2.2.1.2

Divida ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{1}$

Etapa 6.3.3.2.3.2

Divida $0$ por $1$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.3.3.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{3 {(- (- 2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{2}{3 {(2 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{2}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(- (- 4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2.1.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2.2

A resposta final é $- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 2, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - \frac{1}{{(- (0) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.1.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2

A resposta final é $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = - 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11