Cálculo Exemplos

$\int \cos^{2} (\frac{x}{1}) - \sin (x) d x$

Etapa 1

Divida $x$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (x) - \sin (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \cos^{2} (x) d x + \int - \sin (x) d x$

Etapa 3

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int - \sin (x) d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x + \int - \sin (x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin (x) d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin (x) d x$

Etapa 7

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) + \int - \sin (x) d x$

Etapa 8

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) + \int - \sin (x) d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int - \sin (x) d x$

Etapa 10

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) + \int - \sin (x) d x$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) - \int \sin (x) d x$

Etapa 12

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) - (- \cos (x) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) - - \cos (x) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + 1 \cos (x) + C$

Etapa 13.2.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + \cos (x) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \cos (x) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + \cos (x) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \cos (x) + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \cos (x) + C$

Etapa 15.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Etapa 15.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \cos (x) + C$

Etapa 15.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + \cos (x) + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + \cos (x) + C$