Cálculo Exemplos

$y^{3} + x y = - 5 + 5 x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y) = \frac{d}{d x} (- 5 + 5 x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 + 5 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Etapa 3.1.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 5 (3 x^{2})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$0 + 15 x^{2}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $15 x^{2}$ .

$15 x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' + x y' + y = 15 x^{2}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + x y' = 15 x^{2} - y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + x y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x (y') = 15 x^{2} - y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) = 15 x^{2} - y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (3 y^{2} + x) = 15 x^{2} - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + x) = 15 x^{2} - y$ por $3 y^{2} + x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + x) = 15 x^{2} - y$ por $3 y^{2} + x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x)}{3 y^{2} + x} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} + x} + \frac{- y}{3 y^{2} + x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} + x)}{3 y^{2} + x} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} + x} + \frac{- y}{3 y^{2} + x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} + x} + \frac{- y}{3 y^{2} + x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{15 x^{2} - y}{3 y^{2} + x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2} - y}{3 y^{2} + x}$