Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$ como ${(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $4$ e $6 + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.2.3.2.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.2.3.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.2.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.2.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.7.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}])$

Etapa 4.7.3

Simplifique os termos.

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Etapa 4.7.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.7.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.7.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.7.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.7.3.3

Multiplique ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.9

Diferencie.

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Etapa 4.9.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.9.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.9.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.9.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.9.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.9.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.9.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

${(\frac{3 + x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 + x}{2 x^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.3

Aplique a regra do produto a $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6

Combine os termos.

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Etapa 4.10.6.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.10.6.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.10.6.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.2

Simplifique.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x^{1}) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{1 + 1} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.8

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.9

Multiplique $\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ por $\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}} (6 x + x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2}}$

Etapa 4.10.6.10

Mova ${(3 + x)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2} {(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.6.11

Multiplique ${(3 + x)}^{2}$ por ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.10.6.11.1

Mova ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(3 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 + x)}^{2})}$

Etapa 4.10.6.11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Etapa 4.10.6.11.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.10.6.11.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.10.6.11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.10.6.11.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.6.11.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Etapa 4.10.6.11.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.10.7

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.10.8

Fatore $x$ de $x^{2} + 6 x$ .

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Etapa 4.10.8.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.10.8.2

Fatore $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.10.8.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.10.9

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.10.10

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$