Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{x} - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{9} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 + \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{9 + 3 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{9 + 3 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.2

Some $9$ e $3$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.2.5.3

Subtraia $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sqrt{x} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.6.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.6.2.2

Some $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 1.6

Divida $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{9}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 1}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 1}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 1}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.1.4

Some $6$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{7}{6}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{6}$

Forma decimal:

$1.1\overline{6}$