Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

Etapa 2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

Etapa 5.1.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $- \frac{1}{3 x^{3}}$ em $t$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

Etapa 6.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Etapa 6.1.3

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Etapa 6.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{t^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Etapa 6.3

Avalie o limite.

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Etapa 6.3.1

Avalie o limite de $\frac{1}{3}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.2.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3})$

Etapa 6.3.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{3}$

Forma decimal:

$1.\overline{6}$

Forma de número misto:

$1 \frac{2}{3}$