Cálculo Exemplos

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.10

Combine $12$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.12

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Etapa 2.7.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Etapa 2.9

Combine $x^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Etapa 2.11

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 2.12.2

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.12.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.10

Combine $12$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.12

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.1.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 = 0$

Etapa 5.3

Como $4 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{8}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{8}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2

A resposta final é $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Remova os parênteses.

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2

A resposta final é $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11