Cálculo Exemplos

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 3 y^{2} - x$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $3 y^{2} - x$ por $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y^{2} - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + 0)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $6 y$ e $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y \cdot y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y^{1})}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{1 + 1}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{2}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 7

Subtraia $6 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- (3 y^{2}) - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 8.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (3 y^{2}) - (x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 8.3

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 8.4

Reescreva $- (3 y^{2} + x)$ como $- 1 (3 y^{2} + x)$ .

$\frac{- 1 (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Etapa 8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 y^{2} + x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$