Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $\sqrt{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sqrt{3} \sin (x)$ em relação a $x$ é $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.4

Separe as frações.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.7

Separe as frações.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 2.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 2.9

Divida $0$ por $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 2.10

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Etapa 2.11

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 2.12

Divida cada termo em $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.12.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 2.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.12.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 2.12.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 2.12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.12.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Etapa 2.12.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Etapa 2.13

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 2.14

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.14.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 2.15

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 2.16

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 2.16.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 2.16.2

Combine frações.

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Etapa 2.16.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 2.16.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 2.16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.16.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 2.16.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 2.17

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 2.17.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.17.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.17.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.17.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.18

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 4.1.2.1.2.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.1.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4.1.2.2

Combine frações.

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Etapa 4.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + 1}{2}$

Etapa 4.1.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.2.2.1

Some $3$ e $1$ .

$\frac{4}{2}$

Etapa 4.1.2.2.2.2

Divida $4$ por $2$ .

$2$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{4 π}{3}$ por $x$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Etapa 4.2.2.1.3.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.2.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$- \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.2.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Etapa 4.2.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Etapa 4.2.2.2.2.2

Divida $- 4$ por $2$ .

$- 2$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{3} + 2 π n, 2), (\frac{4 π}{3} + 2 π n, - 2)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5