Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x \sqrt[3]{\ln (x)}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{3}{2} {\ln (x)}^{\frac{2}{3}} + C$