Cálculo Exemplos

$\int csch (\frac{1}{2} x) \coth (\frac{1}{2} x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{1}{2} x$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{1}{2} x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int csch (u) \coth (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int csch (u) \coth (u) (1 \cdot 2) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int csch (u) \coth (u) \cdot 2 d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $csch (u) \coth (u)$ .

$\int 2 csch (u) \coth (u) d u$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int csch (u) \coth (u) d u$

Etapa 4

Como a derivada de $- csch (u)$ é $csch (u) \coth (u)$ , a integral de $csch (u) \coth (u)$ é $- csch (u)$ .

$2 (- csch (u) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique.

$2 (- csch (u)) + C$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 csch (u) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{2} x$ .

$- 2 csch (\frac{1}{2} x) + C$