Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{2} - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 3 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - x) + 3 (2)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) - 6 x^{2} + 24 x}$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 24 x}$

Etapa 1.1.1.2.3

Fatore $2 x$ de $24 x$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (12)}$

Etapa 1.1.1.2.4

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)}$

Etapa 1.1.1.2.5

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $3 (x^{2} - x + 2)$ por $1$ .

$3 (x^{2} - x + 2) = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.8.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.1.2

Divida $A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12))$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12)) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2} - 3 x + 12) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.4.3

Multiplique $12$ por $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.6

Cancele o fator comum de $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.6.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.1.9.6.2

Divida $(B x + C) (2 x)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + (B x + C) (2 x)$

Etapa 1.1.9.7

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + B x (2 x) + C (2 x)$

Etapa 1.1.9.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + C (2 x)$

Etapa 1.1.9.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + 2 C x$

Etapa 1.1.9.10

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.10.1

Mova $x$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B (x \cdot x) + 2 C x$

Etapa 1.1.9.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Etapa 1.1.10

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Mova $A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Etapa 1.1.10.2

Mova $A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Etapa 1.1.10.3

Mova $B$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 x^{2} B + 2 C x$

Etapa 1.1.10.4

Mova $24 A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 2 x^{2} B + 2 C x + 24 A$

Etapa 1.1.10.5

Mova $- 6 x A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - 6 x A + 2 C x + 24 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = 4 A + 2 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = 24 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $6 = 24 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $24 A = 6$ .

$24 A = 6$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $24 A = 6$ por $24$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $24 A = 6$ por $24$ .

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1.1

Fatore $6$ de $6$ .

$A = \frac{6 (1)}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1.2.1

Fatore $6$ de $24$ .

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $3 = 4 A + 2 B$ por $\frac{1}{4}$ .

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 3 = - 6 A + 2 C$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 3 = - 6 (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1.1.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$- 3 = 2 (- 3) (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.4.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.4.1.1.3

Cancele o fator comum.

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.4.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.4.1.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 3 = \frac{- 3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.4.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3

Resolva $C$ em $- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$ .

$- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Some $\frac{3}{2}$ aos dois lados da equação.

$2 C = - 3 + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 C = - 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$2 C = \frac{- 6 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2.5.2

Some $- 6$ e $3$ .

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $2 C = - \frac{3}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $2 C = - \frac{3}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$C = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.3.3.2

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$C = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- \frac{3}{4}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $1 + 2 B = 3$ .

$1 + 2 B = 3$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 B = 3 - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.3

Divida cada termo em $2 B = 2$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.1

Divida cada termo em $2 B = 2$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 1, C = - \frac{3}{4}, A = \frac{1}{4}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{1 x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Multiplique $\frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4}{4} \cdot \frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 1.5.1.2

Combine.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x - \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (- \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Etapa 1.5.5

Fatore $4$ de $4 \cdot 2 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12$ .

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Etapa 1.5.5.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Etapa 1.5.5.2

Fatore $4$ de $4 \cdot 12$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}$

Etapa 1.5.5.3

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}$

Etapa 1.5.5.4

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Etapa 1.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Etapa 1.5.7

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{4 x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 12} d x$

Etapa 6

Deixe $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ . Depois, $d u = (4 x - 3) d x$ , então, $\frac{1}{4 x - 3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 12]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 3 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 6.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 6.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 6.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 6.1.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 6.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.5.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 3 + 0$

Etapa 6.1.5.2

Some $4 x - 3$ e $0$ .

$4 x - 3$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| 2 x^{2} - 3 x + 12 |) + C$