Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} - 8 x^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} - 8 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- \frac{3}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{20} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.6

Combine $\frac{- 15}{20}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} - 24 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} - 24 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.6

Combine $\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.7.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{3}$ por $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$- 3 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} - 24 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{3} - 24 x^{2} - 24 (2 x)$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} - 24 x^{2} - 48 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{3} - 24 x^{2} - 48 x$ .

$- 3 x^{3} - 24 x^{2} - 48 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{3} - 24 x^{2} - 48 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{3} - 24 x^{2} - 48 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} - 24 x^{2} - 48 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 48 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 3 x$ de $- 24 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (8 x) - 48 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 3 x$ de $- 48 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 16 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (8 x)$ .

$- 3 x (x^{2} + 8 x) - 3 x \cdot 16 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2} + 8 x) - 3 x (16)$ .

$- 3 x (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 1.2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- 3 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$- 3 x {(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva ${(x + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x {(x + 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = - 3 {(- 6)}^{3} - 24 {(- 6)}^{2} - 48 \cdot - 6$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = - 3 \cdot - 216 - 24 {(- 6)}^{2} - 48 \cdot - 6$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 216$ .

$f'' (- 6) = 648 - 24 {(- 6)}^{2} - 48 \cdot - 6$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = 648 - 24 \cdot 36 - 48 \cdot - 6$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $36$ .

$f'' (- 6) = 648 - 864 - 48 \cdot - 6$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 48$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = 648 - 864 + 288$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $864$ de $648$ .

$f'' (- 6) = - 216 + 288$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 216$ e $288$ .

$f'' (- 6) = 72$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $72$ .

$72$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{3} - 24 {(- 2)}^{2} - 48 \cdot - 2$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = - 3 \cdot - 8 - 24 {(- 2)}^{2} - 48 \cdot - 2$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = 24 - 24 {(- 2)}^{2} - 48 \cdot - 2$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = 24 - 24 \cdot 4 - 48 \cdot - 2$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f'' (- 2) = 24 - 96 - 48 \cdot - 2$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 48$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 24 - 96 + 96$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $96$ de $24$ .

$f'' (- 2) = - 72 + 96$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 72$ e $96$ .

$f'' (- 2) = 24$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 4, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 4, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - 3 {(2)}^{3} - 24 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = - 3 \cdot 8 - 24 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f'' (2) = - 24 - 24 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = - 24 - 24 \cdot 4 - 48 \cdot 2$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f'' (2) = - 24 - 96 - 48 \cdot 2$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 48$ por $2$ .

$f'' (2) = - 24 - 96 - 96$

Etapa 6.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $96$ de $- 24$ .

$f'' (2) = - 120 - 96$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $96$ de $- 120$ .

$f'' (2) = - 216$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 216$ .

$- 216$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(- 4, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8