Cálculo Exemplos

$lim_{n \to \infty} \frac{6 n^{3} + 2 n^{2} + 10}{n^{3} + 1}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $n$ no denominador, que é $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $n^{3}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.1.1.2

Divida $6$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.1.2

Cancele o fator comum de $n^{2}$ e $n^{3}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $n^{2}$ de $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.2.2.1

Fatore $n^{2}$ de $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $n^{3}$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{6 + 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 4

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{6 + 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{6 + 0 + 0}{1 + 0}$

Etapa 8.1.3

Some $6 + 0$ e $0$ .

$\frac{6 + 0}{1 + 0}$

Etapa 8.1.4

Some $6$ e $0$ .

$\frac{6}{1 + 0}$

Etapa 8.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{6}{1}$

Etapa 8.3

Divida $6$ por $1$ .

$6$