Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Etapa 2.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Etapa 2.7.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Etapa 2.9

Combine $x^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.10

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.11

Multiplique.

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Etapa 2.11.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Etapa 2.11.2

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 4.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.7

Simplifique.

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Etapa 4.1.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 5.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Etapa 6.3.3

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

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Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 6.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{2}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.2

A resposta final é $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Mova ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.2

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.3.2.2.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.2.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11