Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\sin (x^{2} - 6 x))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\sin (x^{2} - 6 x)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \sin (x^{2} - 6 x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Combine $\cos (x^{2} - 6 x)$ e $\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 3.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \cdot 1)$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Combine $2$ e $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$x \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.3.2

Combine $x$ e $\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.4

Combine $- 6$ e $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - \frac{6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.7

Fatore $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ de $2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

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Etapa 3.4.7.1

Fatore $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ de $2 x \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.7.2

Fatore $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ de $- 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 3.4.7.3

Fatore $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ de $2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$