Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 4 + 1$

Etapa 2.3.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Etapa 2.5.2

Some $4$ e $4$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.3

Multiplique $\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ por $1$ .

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $8$ e em $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.3

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $3 (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 7.2.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.7

Some $2$ e $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.8

Combine $5^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Etapa 7.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$7.63138474 \dots$

Etapa 9