Cálculo Exemplos

$2 x y^{3} - x^{3} = y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y^{3} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 3 x^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x y^{2} y' + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' = 2 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 y^{3}$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3}$

Etapa 5.2.2

Some $3 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $2 y y'$ de $6 y^{2} x y' - 2 y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 y y'$ de $6 y^{2} x y'$ .

$2 y y' (3 y x) - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ por $2 y (3 y x - 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ por $2 y (3 y x - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $3 y x - 1$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (3 y x - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{3}}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ e $y$ .

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $y$ de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.2

Para escrever $- \frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 y x - 1) \cdot 2 y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ por $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{(3 y x - 1) (2 y)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(3 y x - 1) (2 y)$ .

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{2} (2 y) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{2} y + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.5.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.3.5.2.1

Mova $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y \cdot y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.5.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 5.4.3.5.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y^{1} y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{1 + 2} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.5.2.3

Some $1$ e $2$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.4.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.6.2

Fatore $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.6.4.1

Reescreva $- (2 y^{3} - 3 x^{2})$ como $- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 5.4.3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$