Cálculo Exemplos

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ como ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x + y$ e $g (x) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Etapa 4

Simplifique.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.5

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 5.6.2

Multiplique ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 11.3

Mova ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 14

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 16

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17

Simplifique os termos.

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Etapa 17.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17.3

Combine $\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17.4

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17.5

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.2.1

Deixe $u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 18.2.1.1

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 x - x \cdot x - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 18.2.1.3.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - x \cdot x - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 18.2.1.3.2.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - (x \cdot x) - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - x^{2} - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.3

Simplifique.

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Etapa 18.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.2.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 18.2.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.3.1.2

Simplifique.

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.3.2

Combine os termos opostos em $1 + x^{2} + y^{2} - x - x^{2} - y x$ .

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Etapa 18.2.3.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1 + y^{2} - x + 0 - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.2.3.2.2

Some $1 + y^{2} - x$ e $0$ .

$\frac{\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.3

Combine os termos.

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Etapa 18.3.1

Reescreva $\frac{\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ como um produto.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Etapa 18.3.2

Multiplique $\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

Etapa 18.3.3

Multiplique ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2} + y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.3.3.1

Multiplique ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 18.3.3.1.1

Eleve $1 + x^{2} + y^{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Etapa 18.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 18.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 18.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 18.3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18.4

Reordene os termos.

$\frac{y^{2} - x y - x + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$