Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{6 x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

Etapa 1

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite para o expoente.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.7.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.7.2

Some $0$ e $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.2.7.3

Multiplique $0$ por $e^{9}$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{0}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$6 \frac{0}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + 0}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0 + 0}$

Etapa 2.1.3.5.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$6 \frac{0}{0 + 0}$

Etapa 2.1.3.5.2

Some $0$ e $0$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x + 9}] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x + 9$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.8

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + 0) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.9

Some $- 3$ e $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \cdot - 3 + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.10

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 \cdot e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.12

Multiplique $e^{- 3 x + 9}$ por $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

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Etapa 2.3.13.1

Reordene os termos.

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.13.2

Reordene os fatores em $- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Etapa 2.3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.15

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.15.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.15.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.15.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + 1}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} - 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- lim_{x \to 0} 3 x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.5

Mova o limite para o expoente.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.8

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.9

Mova o limite para o expoente.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.12

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Etapa 3.13

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 3.14

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 3.15

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5.1.3

Some $0$ e $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $0$ por $e^{9}$ .

$6 \frac{0 + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$6 \frac{0 + e^{0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5.1.6

Some $0$ e $9$ .

$6 \frac{0 + e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5.1.7

Some $0$ e $e^{9}$ .

$6 \frac{e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $12$ por $0$ .

$6 \frac{e^{9}}{0 + 1}$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $1$ .

$6 \frac{e^{9}}{1}$

Etapa 5.3

Divida $e^{9}$ por $1$ .

$6 e^{9}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 e^{9}$

Forma decimal:

$48618.50356545 \dots$